\subsubsection{Übung v}

\( p \) prim und \(a + p\Z \in (\Z/p\Z)^*\).
Ist \(\order(a + p\Z) = 2\), so gilt
\begin{align*}
 a^2 &\equiv 1 \mod p\\
 a^2 - 1 &\equiv 0 \mod p\\
 (a + 1) \cdot (a - 1) &\equiv 0 \mod p\\
 &\Longrightarrow p | (a + 1) \vee p | (a - 1)\\
 &\Longrightarrow a + 1 \equiv 0 \mod p \:\:\: \vee \:\:\: a - 1 \equiv 0 \mod p\\
 &\Longrightarrow a \equiv -1 \mod p \:\:\: \vee \:\:\: a \equiv 1 \mod p\\
\end{align*}

Da \(\Z/p\Z\) ein Körper ist, kann eine quadratische Gleichung max. 2 Lösungen haben\footnote{Alternativ: Ein Polynom mit Grad \(n\) hat maximal \(n\) Nullstellen.}, in dem Fall 1 und -1.
Da \(\order(1 + p\Z) = 1\) ist, fällt \(a \equiv 1 \mod p\) weg und es muss \(a \equiv -1 \mod p\) mit \(\order(-1 + p\Z) = 2\) gelten.